集合

集合

1.1 集合的概念

集合是数学中的一个基本概念，代表了具有某种共同特征的事物总体。组成集合的元素称为元。

两种集合：有限集、无限集。

1.2 集合的运算

集合运算：并、交、差（$\cup, \cap,-,A^\complement$）

集合关系：包含于，属于（$\subset,\subseteq,\in$）

函数

在说明函数之前，我们先引入映射的概念。

2.1 映射

集合$A$中某元素$a$能够通过某种对应关系对应到集合$B$中的$b$元素，我们称这种对应关系为映射。 映射又分为单射、满射，当一个映射既是单射又是满射，那么又被叫做一一映射（双射）。

当映射的集合是数集时，我们便称之为函数。

2.1 函数的性质

有界性、单调性、奇偶性、周期性

2.2 函数的运算

$$f(x) + g(x).\\ f(x) - g(x),\\ f(x) \times g(x),\\ \frac{f(x)}{g(x)}$$

函数的复合运算

$f(g(x))$

函数的逆运算

$f^{-1}(x)$

2.3 初等函数以及性质

$y = y_{0}a^{kx}$
$y = \log_{a}x$

• 三角函数

  • 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
    $\sin x=\dfrac{y}{r}, \cos x=\dfrac{x}{r}, \tan x\dfrac{y}{x}, \sec x=\dfrac{r}{x}, \csc x=\dfrac{r}{y}$
  • 周期性：正切余切$T=\pi$，其他的$T=2\pi$
  • 奇偶性：正弦正切余割 奇函数，余弦余切正割 偶函数
  • 图形的平移：$y = af(b(x+c)) + d$，a 拉伸 y 轴，b 压缩 x 轴，cd 上加下减，左加右减
  • 恒等式：
  • $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$
  • $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta ,\ \ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
  • 和角公式：
  • $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
  • $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
  • 倍角公式：
  • $\cos2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
  • $\sin2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta$
  • 余弦定理：
  • $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta$

• 反三角函数

  • 图像记住
  • 恒等式：
  • $\arcsin(-x) = - \arcsin x$
  • $\arccos x + \arccos (-x) = \pi$
  • 24.$\arccos (-x) = \pi - \arccos x$
  • $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$

• 双曲函数

  • $\sinh(x)=\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
  • $\cosh(x)=\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
  • $\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$
  • $\sinh^2(x) - \cosh^2(x)$

• 反双曲函数

  • ${\rm arcsinh}(x)$
  • ${\rm arccosh}{x}$
  • ${\rm arctanh}(x)$

悬链线的解析式与双曲函数息息相关。

2.4 参数方程

将方程的自变量，因变量都用第三个参数表示，称之为函数的参数化。
反参数化：将参数用其中一个变量表示，再将这个参数带入其他的变量中。

• 圆：$x^2 + y^2 = a^2$

$x = a\cos t$
$y = a\sin t$
$0 \le t \le 2\pi$

• 椭圆：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

$x = a\cos t$
$y = b\sin t$
$0 \le t \le 2\pi$

• 双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

$x = a\sec t$
$y = b\sin t$
$0 \le t \le 2\pi$

• 抛物线：$y^2 = 2px$

$x = 2pt^2$
$y = 2pt$
$t \in \mathbb{R}$

几类需要注意的线：摆线（圆沿着直线滚动时，圆上一固定的一点所描绘出来的曲线）、星型线（圆沿着比他更大的圆的内侧滚动时，圆上固定一点描绘出来的曲线）、对数螺旋线（$p= ca^\theta$）；

对数螺旋线有一个有趣的性质：原来的方程的曲线经过放大（缩小）和旋转，都能和原来的曲线部分重合；