导数与微分

2.1 导数

定义

f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

可导一定连续，连续不一定可导。

2.1.1 导数的运算

加减
- $d(f \pm g)=f' \pm g'$
乘
- $d(f \cdot g)=f'g + fg'$
除
- $d(\dfrac{f}{g})=\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
链式法则
- $df(g(x))=f'(g(x))g'(x)$
反函数
- $[f^{-1}(x)]' = \dfrac{1}{f'(y)}$

2.1.2 常用导数

$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$1/x$
$\log_a(x)$	$1/x\ln a$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{arccot} x$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$

2.1.3 莱布尼茨公式（二项式定理）

\begin{aligned} (uv)^{(n)} = u^{(n)}v + nu^{(n - 1)}v' + \frac{n(n-1)} u^{(n - 2)} v'' + \cdots + \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k} u^{(n-k)} v^{(k)} + \cdots + uv^{(n)} \\ = \sum_{k = 0}^{n} {k \choose n} u^{(n - k)} v^{(k)} \end{aligned}

2.1.4 隐函数求导以及参数方程

对数求导法
- 两边取对数再求导
参数方程求导法
- $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

2.2 微分

微分： $dy = f'(x)\Delta x$ 增量： $\Delta y = f'(x)\Delta x + \alpha \Delta x = dy + o(dy)$ 导数也称为微商。

可微性 $\Leftrightarrow$ 可导性

2.2.1 使用微分近似求函数值

\begin{aligned} \Delta y = f(x + x_0) - f(x_0) \approx f'(x_0) \Delta x \\ f(x + x_0) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x \end{aligned}

作代换 $x + x_0 \rightarrow x$ ：

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)

2.2.2 微分中值定理

费马引理（极值点（驻点）导数为 0）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x \in U(x_0)$ 有 $f(x) \le f(x_0) \quad {\rm or} \quad f(x) \ge f(x_0)$ 那么 $f'(x_0) = 0$

罗尔定理（拉格朗日中值定理的特殊形式）

如果函数 $f(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 连续；

在开区间 $(a, b)$ 内可导；

在区间端点处函数值相等，即 $f(a) = f(b)$ ，

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ 使得 $f'(\xi) = 0$

拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 连续；

在开区间 $(a, b)$ 可导；

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ 使得 $f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 成立.

柯西中值定理（拉格朗日中值定理的参数方程情形）

如果函数 $f(x), g(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；

在开区间 $(a, b)$ 上可导；

对任意 $x \in (a, b), g'(x) \ne 0$

那么在 $(a, b)$ 至少有一点 $\xi$ 使得： $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 成立.

中值定理的几种应用形式：

$f - f$ 直接使用中值定理
$f - A$ 这种情况我们应该要把 $A \to f(x_0)$ ，一般是 $0, 1$ 等不容易发现的常数
$\ln(\frac{A}{B}) \to \ln A - \ln B$ 将两边取对数之后将分式转化为差，构造函数的差

2.3 洛必达法则

洛必达法则运用条件：

$\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0(\infty), \lim \limits_{x \rightarrow x_0} F(x) = 0(\infty)$ ；
在点 $x_0$ 的某一去心邻域内， $f'(x)$ 和 $F'(x)$ 都存在，且 $F'(x) \ne 0$ ；
极限 $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在

在求极限的过程中，对于上面的第三条条件，我们在求出极限之前也不知道极限是否存在。但习惯上我们仍然使用洛必达法则，直到求出来的极限的确不存在时，我们就把之前的等号划去。

2.4 泰勒公式

泰勒公式是使用多项式近似函数在某点附近的表达式的方法。

根据：

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)

只要我们不断提高 $o(x - x_0)$ 的精度，我们便可以得到更精确的 $f(x)$ 函数近似。

使用待定系数法求得多项式每项系数的值，得到泰勒多项式：

\begin{aligned} p(x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(n)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k \\ f(x) = p(x) + R(x) \end{aligned}

2.4.1 泰勒中值定理

\frac{f(x) - p_n(x)}{(x - x_0)^{n + 1}} = \frac{f^{(n + 1)} (\xi)}{(n + 1)!}

注意： $f(x)$ 要求有 $n + 1$ 阶导数。

2.4.2 拉格朗日型余项

R(x) = \frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} , \xi \in (x, x_0)

2.4.3 皮亚诺型余项

对 $\xi$ 0 进行代换：

\xi = x + \theta (x + x_0)

得到：

R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)} [x_0 + \theta (x - x_0)]}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}

以上即是皮亚诺型余项。

2.4.4 麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式当 $x_0 = 0$ 时的特殊形式。

f(x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{n}(0)}{k!} x^n + o(x^n)

2.4.5 常见的函数的麦克劳林公式

\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n), \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n - 1} \frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + o(x^{2n}), \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n + 1}), \\ \ln(1 + x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n + 1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) ,\\ \frac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}x^n ,\vert x \vert < 1 ,\\ \frac{1}{1 + x} &= 1 - x + x^2 - \cdots (-1)^n x^n + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^n x^n , \vert x \vert < 1 ,\\ (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + o(x^3) ,\\ \tan x &= x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) (x \to 0) ,\\ \arcsin x &= x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) (x \to 0),\\ \arctan x &= x - \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) (x \to 0) . \end{aligned}

2.4.6 泰勒公式常见用法

求函数近似值（展开式的余项是误差范围的高阶无穷小即可近似）
求极限（将复杂函数展开成多项式+高阶无穷小）
- $A/B$ 型，上下同阶原则
- $A-B$ 型，幂次最高原则
不等式证明（利用余项的 $\xi$ 所在的区间构造不等式）
。。。