线性方程组
非齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m , (1) \begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
\cdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m,
\end{cases} \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = b m , ( 1 )
齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 , ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 , (2) \begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\
\cdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0,
\end{cases} \tag{2} ⎩ ⎨ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 , ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = 0 , ( 2 )
增广矩阵 A ~ = ( A , b ) \mathbf{\tilde{A}} = (\mathbf{A}, \mathbf{b}) A ~ = ( A , b ) 线性方程组解的情况：
唯一解，当且仅当 r ( A ~ ) = r ( A ) = n r(\mathbf{\tilde{A}}) = r(\mathbf{A}) = n r ( A ~ ) = r ( A ) = n
有无穷多解，当且仅当 r ( A ~ ) = r ( A ) < n r(\mathbf{\tilde{A}}) = r(\mathbf{A}) \lt n r ( A ~ ) = r ( A ) < n
无解，当且仅当 r ( A ~ ) ≠ r ( A ) r(\mathbf{\tilde{A}}) \neq r(\mathbf{A}) r ( A ~ ) = r ( A )
自由未知量 ，就是无穷多解的情形，有效方程数小于未知量数，剩下的就是自由未知量。
n n n F F F n n n F F F n n n F n F^n F n 基 ：在 F n F^n F n n n n
基变换公式 ：( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A (\mathbf{\beta_1}, \mathbf{\beta_2}, \cdots, \mathbf{\beta_n}) = (\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \cdots, \mathbf{\alpha_n}) \mathbf{A} ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A
坐标变换公式 ：根据基变换公式得到的公式，不同的基对同一向量有不同的线性组合，当基变换了，坐标就相应的要变换，下面是转换公式，{ y n } \{y_n\} { y n } { β n } \{\mathbf{\beta_n}\} { β n } { x n } \{x_n\} { x n } { α n } \{\alpha_n\} { α n }
( x 1 x 2 ⋮ x n ) = A ( y 1 y 2 ⋮ y n ) \begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix} =
\mathbf{A}
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{n} \\
\end{pmatrix} x 1 x 2 ⋮ x n = A y 1 y 2 ⋮ y n
线性表出：存在一组不全为零的数 ( k 1 , k 2 , … , k n ) (k_1, k_2, \dots, k_n) ( k 1 , k 2 , … , k n ) { α 1 , α 2 , … , α n } \{\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_n}\} { α 1 , α 2 , … , α n } α \mathbf{\alpha} α α \mathbf{\alpha} α { α 1 , α 2 , … , α n } \{\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_n}\} { α 1 , α 2 , … , α n }
线性组合：我们将上面的 α \mathbf{\alpha} α { α 1 , α 2 , … , α n } \{\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_n}\} { α 1 , α 2 , … , α n }
线性相关：如果上式的 α = 0 \mathbf{\alpha} = \mathbf{0} α = 0 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_n}\} { α 1 , α 2 , … , α n }
将线性相关和线性方程组联系起来，我们可以把 k k k
极大线性无关组 ：一个向量组中，能够容纳的最多的线性无关向量向量组；也就是说在 n n n s s s s s s 我们可以这样理解 ：极大线性无关组包含了整个向量组中最精炼的信息，向量组内的其他信息都可以用这个向量组来线性表出（因为再多一个向量都会变成线性相关组，而该向量组本身是线性无关的）；
向量组的秩 ：极大线性无关组的向量个数；
一些比较重要的定理：
若向量组 α 1 , α 2 , … , α r \mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_r} α 1 , α 2 , … , α r β 1 , β 2 , … , β s \mathbf{\beta_1}, \mathbf{\beta_2}, \dots, \mathbf{\beta_s} β 1 , β 2 , … , β s r > s r \gt s r > s α 1 , α 2 , … , α r \mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_r} α 1 , α 2 , … , α r
大的向量组被小的向量组表达了，那么大的向量组肯定包含了冗余的信息。
若向量组 α 1 , α 2 , … , α r \mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_r} α 1 , α 2 , … , α r β 1 , β 2 , … , β s \mathbf{\beta_1}, \mathbf{\beta_2}, \dots, \mathbf{\beta_s} β 1 , β 2 , … , β s α 1 , α 2 , … , α r \mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \dots, \mathbf{\alpha_r} α 1 , α 2 , … , α r r ⩽ s r \leqslant s r ⩽ s
是上一条命题的逆否命题，也就是一个向量组被另一个向量组表达了，而且被表达的向量组的信息没有冗余，那么被表达的向量组肯定不比另一个向量组大。
若向量组 ( α ) (\mathbf{\alpha}) ( α ) ( β ) (\mathbf{\beta}) ( β ) ( α ) (\mathbf{\alpha}) ( α ) ( β ) (\mathbf{\beta}) ( β )
如果一个向量组被另一个向量组表达了，那么该向量组的信息量必然不超过另一个向量组。
对于矩阵 A m × n \mathbf{A}_{m \times n} A m × n B n × s \mathbf{B}_{n \times s} B n × s r ( A B ) ⩽ min { r ( A ) , r ( B ) } r(\mathbf{AB}) \leqslant \min \{r(\mathbf{A}), r(\mathbf{B})\} r ( AB ) ⩽ min { r ( A ) , r ( B )}
若矩阵 A B = O \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{O} AB = O r ( A ) + r ( B ) < n r(\mathbf{A}) + r(\mathbf{B}) \lt n r ( A ) + r ( B ) < n
线性方程组解的结构
我们知道方程组 ( 1 ) (1) ( 1 )
无解 r ( A ) < r ( A ‾ ) r(\mathbf{A}) < r(\mathbf{\overline{A}}) r ( A ) < r ( A )
唯一解 r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{\overline{A}}) = n r ( A ) = r ( A ) = n
无穷解 r ( A ) = r ( A ‾ ) < n r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{\overline{A}}) < n r ( A ) = r ( A ) < n
其中包含无穷多解的情形，通过对向量工具的利用，我们是否能够通过有限个解来表达无限个解的情况呢？
为了方便研究我们使用
A X = b , ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) X = b \begin{aligned}
\mathbf{AX} & = \mathbf{b}, \\
(\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \cdots, \mathbf{\alpha_n}) \mathbf{X} & = \mathbf{b}
\end{aligned} AX ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) X = b , = b 来表示方程组 ( 1 ) (1) ( 1 )
A X = 0 , ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) X = 0 \begin{aligned}
\mathbf{AX} & = \mathbf{0}, \\
(\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \cdots, \mathbf{\alpha_n}) \mathbf{X} & = \mathbf{0}
\end{aligned} AX ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) X = 0 , = 0 来表示方程组 ( 2 ) (2) ( 2 )
循序渐进，我们先来讨论相对简单的齐次线性方程组的情形。
对于齐次线性方程组 ( 2 ) (2) ( 2 )
定义 ：基础解系
对于齐次方程组 ( 2 ) (2) ( 2 ) η 1 , η 2 , ⋯ , η t \mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, \cdots, \mathbf{\eta}_t η 1 , η 2 , ⋯ , η t ( 1 ) (1) ( 1 ) η 1 , η 2 , ⋯ , η t \mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, \cdots, \mathbf{\eta}_t η 1 , η 2 , ⋯ , η t ( 2 ) (2) ( 2 ) ( 2 ) (2) ( 2 )
关于方程组 ( 2 ) (2) ( 2 )
性质 ：
若 ξ 1 , ξ 2 \mathbf{\xi}_1, \mathbf{\xi}_2 ξ 1 , ξ 2 ( 1 ) (1) ( 1 ) ξ 1 + ξ 2 \mathbf{\xi}_1 + \mathbf{\xi}_2 ξ 1 + ξ 2
若 ξ \mathbf{\xi} ξ ( 2 ) (2) ( 2 ) k ξ k\mathbf{\xi} k ξ
以上的性质说明方程组 ( 2 ) (2) ( 2 ) ( 2 ) (2) ( 2 )
线性方程组 向量组 向量空间 基础解系 极大线性无关组 向量空间的基 方程组的解 所有解构成的一组向量组 这组向量是一个线性空间
定理 ：（其证明过程也是求基础解系的方法）
若方程组 ( 2 ) (2) ( 2 ) n − r ( A ) n - r(\mathbf{A}) n − r ( A )
证明
若 r ( A ) = n r(\mathbf{A}) = n r ( A ) = n ( 2 ) (2) ( 2 ) r ( A ) < n r(\mathbf{A}) < n r ( A ) < n ( 2 ) (2) ( 2 ) n − r n - r n − r
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 r x r = a 1 , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 r x r = a 1 , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n , ⋯ a r 1 x 1 + a r 2 x 2 + ⋯ + a r r x r = a r , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n . \begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1r}x_r = a_{1, r+1}x_{r+1} + \cdots + a_{rn}x_n, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2r}x_r = a_{1, r+1}x_{r+1} + \cdots + a_{rn}x_n, \\
\cdots \\
a_{r1}x_1 + a_{r2}x_2 + \cdots + a_{rr}x_r = a_{r, r+1}x_{r+1} + \cdots + a_{rn}x_n.
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 r x r = a 1 , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 r x r = a 1 , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n , ⋯ a r 1 x 1 + a r 2 x 2 + ⋯ + a rr x r = a r , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n . 对于左边的 r r r n − r n - r n − r
( x r + 1 , x r + 2 , ⋯ , x n ) = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ , ( 0 , 0 , ⋯ , 1 ) (x_{r+1}, x_{r+2}, \cdots, x_{n}) = (1, 0, \cdots, 0), (0, 1, 0, \cdots, 0), \cdots, (0, 0, \cdots, 1) ( x r + 1 , x r + 2 , ⋯ , x n ) = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ , ( 0 , 0 , ⋯ , 1 ) 于是我们得到基础解系为：
{ η 1 = ( c 11 , c 12 , ⋯ , c 1 r , 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , η 2 = ( c 21 , c 22 , ⋯ , c 2 r , 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ η n − r = ( c n − r , 1 , c n − r , 2 , ⋯ , c n − r , r , 0 , 0 , 0 , ⋯ , 1 ) . \begin{cases}
\mathbf{\eta}_1 = (c_{11}, c_{12}, \cdots, c_{1r}, 1, 0, 0, \cdots, 0), \\
\mathbf{\eta}_2 = (c_{21}, c_{22}, \cdots, c_{2r}, 0, 1, 0, \cdots, 0), \\
\cdots \\
\mathbf{\eta}_{n-r} = (c_{n-r, 1}, c_{n-r, 2}, \cdots, c_{n-r, r}, 0, 0, 0, \cdots, 1).
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ η 1 = ( c 11 , c 12 , ⋯ , c 1 r , 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , η 2 = ( c 21 , c 22 , ⋯ , c 2 r , 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ η n − r = ( c n − r , 1 , c n − r , 2 , ⋯ , c n − r , r , 0 , 0 , 0 , ⋯ , 1 ) . 要证明它是基础解系很简单，首先通过行列变换可以证明这个矩阵是满秩的，因此这个向量组是线性无关的；然后通过方程组 ( 2 ) (2) ( 2 ) n − r n - r n − r ( 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ (1, 0, 0, \cdots, 0), (0, 1, 0, \cdots, 0), \cdots ( 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ n − r n - r n − r n − r n - r n − r r r r ( 2 ) (2) ( 2 )
下面开始讨论方程组 ( 1 ) (1) ( 1 )
我们有一些定理和解的性质：
性质 ：
设 γ 1 , γ 2 \gamma_1, \gamma_2 γ 1 , γ 2 A X = b \mathbf{AX} = \mathbf{b} AX = b γ 1 − γ 2 \gamma_1 - \gamma_2 γ 1 − γ 2 A X = 0 \mathbf{AX} = \mathbf{0} AX = 0
设 γ \gamma γ A X = b \mathbf{AX} = \mathbf{b} AX = b η \eta η A X = 0 \mathbf{AX} = \mathbf{0} AX = 0 γ + η \gamma + \eta γ + η A X = b \mathbf{AX} = \mathbf{b} AX = b
上述性质直接将解代入方程即可得到。
定理 ：
线性方程组 ( 1 ) (1) ( 1 ) b \mathbf{b} b ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) (\mathbf{\alpha_1}, \mathbf{\alpha_2}, \cdots, \mathbf{\alpha_n}) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n )
设 γ 0 \gamma_0 γ 0 ( 1 ) (1) ( 1 ) γ = γ 0 + η \gamma = \gamma_0 + \eta γ = γ 0 + η η \eta η
根据定理，我们知道要表示方程组 ( 2 ) (2) ( 2 ) γ 0 \gamma_0 γ 0 η \eta η ( 1 ) (1) ( 1 ) ( 1 ) (1) ( 1 )
η = k 1 γ 1 + k 2 γ 2 + ⋯ + k n − r γ n − r \eta = k_1 \mathbf{\gamma}_{1} + k_2 \mathbf{\gamma}_{2} + \cdots + k_{n-r} \gamma_{n-r} η = k 1 γ 1 + k 2 γ 2 + ⋯ + k n − r γ n − r 其中 k 1 , k 2 , ⋯ , k n − r k_1, k_2, \cdots, k_{n-r} k 1 , k 2 , ⋯ , k n − r