向量代数与几何

向量代数与几何

向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$，满足以下运算：

1. $\mathbf{a} + \mathbf{b}$
2. $k \mathbf{a}$
3. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = |\mathbf{a}| \Pi_{a}b$
4. $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle$ 以上运算都满足交换律、结合律、分配律（加法没有），以及各自的单位元，但特别地：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}$
5. $\Pi_\mathbf{b} \mathbf{a} = |\mathbf{a}| \cos\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle$

向量的坐标表示

已知 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 是坐标系的三个轴方向单位向量，我们可以将任意向量 $\mathbf{p}$ 表示为： $\mathbf{p} = p_x \mathbf{i} + p_y \mathbf{j} + p_z \mathbf{k}$ 简记： $\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z)$ 并且有：

其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 的夹角。

有了坐标表示我们可以用如下方式表达 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ ：

空间平面以及方程

• 点法式
• 一般式
• 截距式
• 三点式
• 平面束

点法式

直观理解，一个点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 和一个法向量 $\mathbf{p} = (A, B, C)$ 便可以在空间中确定一个平面的位置，方程表达如下：

也可以写成法向量 $\mathbf{p} = (A, B, C)$ 和变量向量 $\mathbf{x} = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})$ 的内积：

一般式

将点法式整理一下可以得到一般式：

截距式

将一般是等式两边同时除以 $D$ 就可以得到截距式：

$a, ~b, ~c$ 分别是平面关于坐标轴 $x, ~y, ~z$ 的截距。

三点式

用三个点确定一个平面，由三点方程如下：

平面束

与已知几何体构成简单或复杂的关系的平面，通常通过引用一些变量 $\lambda_1, \lambda_2, \dots$ 和已知几何体的方程组成一个新的方程表达一系列平面，这一系列平面叫做平面束。 有两个平面 $\pi_1, \pi_2$ ，他们的法向量分别为 $n_1, n_2$ 根据一些简单的平面关系我们有以下关系： $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 重合 $\Leftrightarrow$ $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}} = \dfrac{D_{1}}{D_{2}}$ $\pi_1 \parallel \pi_2$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}} \neq \dfrac{D_{1}}{D_{2}}$ $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 相交 $\Leftrightarrow$ $A_1 : B_1 : C_1 \neq A_2 : B_2 : C_2$

空间直线以及方程

• 点向式
• 一般式

点向式

由方向向量 $\mathbf{s} = (m, n, p)$ 和点 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ 确定直线，方程如下：

一般式

将点向式作恒等变形就可以得到一般式：

几何关系

• 直线 $l$ 与平面 $\pi$ 法向量分别为 $\mathbf{s}, \mathbf{n}$

  • $l$ 在 $\pi$ 上 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = 0$ 且 $P_0$ 在 $\pi$ 上（$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$）
  • $l$ 与 $\pi$ 平行 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = 0$ 但 $P_0$ 不在 $\pi$ 上（$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0$）
  • $l$ 与 $\pi$ 相交 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} \neq 0$
  • $l$ 与 $\pi$ 垂直 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s} = \lambda \mathbf{n}$

• 直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 法向量分别为 $\mathbf{s_1}, \mathbf{s_2}$ 初始点分别为 $P_1, P_2$

  • $l_1$ 与 $l_2$ 异面 $\Leftrightarrow$ 混合积 $(\mathbf{s_1}, \mathbf{s_2}, \overrightarrow{P_1P_2}) \neq 0$
  • $l_1$ 与 $l_2$ 共面 $\Leftrightarrow$ 混合积 $(\mathbf{s_1}, \mathbf{s_2}, \overrightarrow{P_1P_2}) = 0$
    • $l_1$ 与 $l_2$ 重合 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s_1} \parallel \mathbf{s_2} \parallel \overrightarrow{P_1P_2}$ $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s_1} = \lambda_1 \mathbf{s_2} = \lambda_2 \overrightarrow{P_1P_2}$
    • $l_1$ 与 $l_2$ 相交 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s_1} \times \mathbf{s_2} \neq \mathbf{0}$
    • $l_1$ 与 $l_2$ 平行 $\Leftrightarrow$ $\mathbf{s_1} = \lambda_1 \mathbf{s_2} \neq \lambda_2 \overrightarrow{P_1P_2}$

• 直线与直线夹角

  • $\theta$ 为 $\mathbf{s_1}$ 和 $\mathbf{s_2}$ 夹角，$\varphi = \min \{\theta, \pi - \theta\}$ 为直线与直线的夹角，$\cos \varphi = \dfrac{|\mathbf{s_1} \cdot \mathbf{s_2}|}{|\mathbf{s_1}| |\mathbf{s_2}|}$

• 直线与平面夹角

  • $\theta$ 为 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n}$ 夹角，$\varphi = \dfrac{\pi}{2} \min \{\theta, \pi - \theta\}$ 为直线与直线的夹角，$\sin \varphi = \dfrac{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{s}| |\mathbf{n}|}$

• 平面与平面夹角

  • $\theta$ 为 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$ 夹角，$\varphi = \min \{\theta, \pi - \theta\}$ 为直线与直线的夹角，$\cos \varphi = \dfrac{|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|}$

• 距离

  • 点 $P_0$ 与直线 $l$： $d(P_0, l) = \dfrac{|\mathbf{s} \times \overrightarrow{P_0P_1}|}{|\mathbf{s}|}$
  • 点 $P_0$ 与平面 $\pi$： $d(P_0, \pi) = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_0P_1}|}{|\mathbf{n}|}$