特征值和特征向量

特征值和特征向量

定义：特征向量、特征多项式 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶矩阵， $\lambda$ 是一个数，如果存在非零向量 $\mathbf{\alpha}$ 使得：

就称 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值， $\mathbf{\alpha}$ 是 $\mathbf{A}$ 属于 $\lambda$ 的一个特征向量。

定义：特征矩阵、特征多项式 设 $\mathbf{A} = (a_{ij})_{nn}$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，我们称关于 $\lambda$ 的多项式 $f(\lambda) = |\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}|$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式，称 $\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征矩阵。

求特征值和特征向量的方法：

1. 求解 $|\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}| = 0$ 算出所有的根 $\lambda_i$；
2. 对每个 $\lambda_i$ 计算出所有的 $(\lambda_i \mathbf{E} - \mathbf{A})\mathbf{\alpha} = 0$ 的基础解系，得到属于每一个 $\lambda_i$ 的特征向量 $\mathbf{\alpha}$

特征值和特征向量的一些性质：

1. $\sum \limits_{i = 1}^{n}\lambda_i = \sum \limits_{i = 1}^{n}a_{ii} = \mathrm{tr}(\mathbf{A})$;
2. $\sum \limits_{i = 0}^{n}\lambda_i = |\mathbf{A}|$;
3. 对矩阵 $\mathbf{A}$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 有属于 $\lambda_i$ 的特征向量组 $\{\mathbf{\alpha}_{ik} \vert k \in [1, t] \}$ 线性无关，那么所有的 $\{\mathbf{\alpha}_{ik} \vert k \in [1, t], i \in [1, s] \}$ 都线性无关;
4. 属于不同 $\lambda_i$ 的 $\mathbf{\alpha}_i$ 都线性无关;

相似矩阵和矩阵对角化

定义：相似矩阵 对于矩阵 $\mathbf{A}$ 存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使得 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{AP} = \mathbf{B}$ 我们称之为 $\mathbf{A}$ 相似于 $\mathbf{B}$ ，记为 $\mathbf{A} \sim \mathbf{B}$ .

矩阵间的相似有以下性质：

1. 反身性
2. 对称性
3. 传递性

此外还有一些特殊的性质：

1. $|\mathbf{A}| = |\mathbf{B}|$
2. $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 拥有相同的特征多项式和特征值；
3. $\mathrm{tr}(\mathbf{A}) = \mathrm{tr}(\mathbf{B})$ 且有 $r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{B})$;
4. 如果 $f(x)$ 是一个多项式，那么 $f(\mathbf{B}) = \mathbf{P}^{-1} f(\mathbf{A}) \mathbf{P}$
5. $\mathbf{A}^T \sim \mathbf{B}^T$ ，若 $\mathbf{A}$ 可逆还有 $\mathbf{A}^*\sim\mathbf{B}^*$

矩阵对角化就是求一个矩阵 $\mathbf{P}$ 使得矩阵 $\mathbf{A}$ 和一个对角矩阵 $\varLambda$ 相似。 矩阵可对角化的充要条件：矩阵 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。 推论 1：一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\mathbf{A}$ 可对角化。 推论 2：一个 $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式无重根，则 $\mathbf{A}$ 可对角化。

定义：内积空间、长度、夹角、正交 定义向量的内积：有列向量 $\mathbf{\alpha}$ 和列向量 $\mathbf{\beta}$ 我们将 $(\mathbf{\alpha, \beta}) = \mathbf{\alpha}^T\mathbf{\beta} = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$ 称为向量 $\mathbf{\alpha}$ 和向量 $\mathbf{\beta}$ 的内积。定义了线性运算和内积运算的向量空间 $\mathbb{R}^n$ 叫内积空间。

内积空间内的向量与它本身的内积的开平方，即 $|\mathbf{\alpha}| = \sqrt{(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\alpha})} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}}$ 作为向量 $\mathbf{\alpha}$ 的距离。

有了距离和内积的定义，我们就有了夹角的定义， $\cos \theta = \dfrac{(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta})}{|\mathbf{\alpha}| \cdot |\mathbf{\beta}|}$ ，我们将 $\theta$ 定义为两个向量的夹角，记为 $\langle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta} \rangle$。

当夹角 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ 即 $\cos\theta = 0$ 时，我们将这种情况称为正交。一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组。一组正交向量组若构成了内积空间 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，那么这组向量称为正交基。如果都是单位向量，那么被称为标准正交基。

根据以上的定义，我们有以下的不等式： 柯西不等式：

三角不等式：

定理 1： 正交向量组是线性无关向量组。

定理 2： （施密特正交化）通过已知的一组基构造出一组正交基。 设我们有 $\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \cdots, \mathbf{\alpha}_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。令

得到的 $\mathbf{\beta}_1, \cdots, \mathbf{\beta}_n$ 就是一组正交基了。

定义：正交矩阵 若矩阵 $\mathbf{A}$ 满足 $\mathbf{A}^T \mathbf{A} = \mathbf{E}$ 则称其为正交矩阵。 性质：

1. $\mathbf{A}$ 可逆，那么 $\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T$；
2. $\mathbf{A}^{-1}, \mathbf{A}^T$ 也是正交矩阵；
3. $|\mathbf{A}| = \pm 1$；
4. 正交矩阵的乘积依然是正交矩阵；

定理 3： 矩阵 $\mathbf{A} = (\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \cdots, \mathbf{\alpha}_n)$ 是正交矩阵的充要条件是列向量 $\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \cdots, \mathbf{\alpha}_n$ 构成矩阵的一组标准正交基。

定理 4： 实对称矩阵的特征值都是实数。

定理 5： 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必定正交。

定理 6： 对于实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 存在正交矩阵 $\mathbf{T}$ 使得 $\mathbf{T}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{T}$ 为对角矩阵。

如何求 $\mathbf{T}$ ？：

1. 求出矩阵 $\mathbf{A}$ 的所有特征值 $\lambda_i$ ，以及属于他们的特征向量 $\mathbf{\alpha}_{1s_i}, \mathbf{\alpha}_{2s_i}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{is_i}$；
2. 将属于 $\lambda_i$ 的特征向量 $\mathbf{\alpha}_{1s_i}, \mathbf{\alpha}_{2s_i}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{is_i}$ 正交化和单位化；
3. 将上一步处理后的所有特征向量合并，得到的向量组就是单位正交向量组。