数学建模概述

数学模型是使用数学工具（方程、函数、算法）对现实世界中的一个特定对象（往往是某一个问题）进行简化、提炼构造出来的数学结构。

建模实例一：椅子能在不平的地面上放稳吗?

现实问题：有没有可能在不平的地面上让椅子的四只脚着地？

import pandas as pd
df = pd.DataFrame()

\documentclass{standalone}
\begin{document}
   Hello world!
\end{document}

\documentclass[tikz,convert=pdf2svg]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
        \draw (0,0) circle (10pt);
        \draw (0,0) .. controls (1,1) and (2,1) .. (2,0);
        \draw (0,0) ellipse (20pt and 10pt);
        \draw (0,0) rectangle (0.5,0.5);
        \filldraw[fill=green!20!white, draw=green!50!black](0,0) -- (3mm,0mm) arc (0:30:3mm) -- cycle;
    \end{tikzpicture}
\end{document}

模型假设：

地面不平：将地面抽象成数学上的连续曲面，且不出现像台阶一样的断面；
椅子：我们这里研究的是椅子的四只脚能不能同时着地，将四只脚抽象成的长度相等的四条线段，端点的连线构成正方形；
地面是相对平坦的，使椅子能在任何位置三只脚同时着地；

根据模型假设，我们抽象出两个函数： $f(\theta)$ 和 $g(\theta)$ , 分别对角两个端点与地面距离的和 $\theta$ 表示椅子水平旋转的角度。

于是我们有了以下命题：

已知 $f(\theta)$ 和 $g(\theta)$ 是 $\theta$ 的连续函数，对任意 $\theta$ ， $f(\theta) \cdot g(\theta) \gt 0$ ，且 $g(0) = 0, f(0) > 0$ . 证明存在 $\theta_0$ ，使得 $f(\theta_0) = g(\theta_0) = 0$ .

模型求解：

构造函数 $h(\theta) = f(\theta) - g(\theta)$ ，由于 $f(\theta)$ 和 $g(\theta)$ 都连续，我们有 $h(\theta)$ 连续，