函数、极限与连续

函数、极限与连续

极限计算的一些工具

1. 洛必达法则（分子分母可导且极限分别为 $0$ 或 $c$ 或 $\infty$ ，用之前先化简）
2. 等价无穷小替换（只能乘除，不能加减）；
3. 泰勒公式（麦克劳林公式）；
4. 特殊极限；
5. 夹逼准则；

一些经验：

1. 一般指数和底数都含有 $x$ 的极限式 $f(x)^{g(x)}$ 都通过指数的性质化为 $e^{g(x) \ln f(x)}$ 将幂指关系转换成乘积关系，再通过其他的工具化简求值；
2. $\ln f(x)$ 如果 $f(x) \to 1$ 可以通过恒等变换 $\ln(f(x) = \ln [f(x) - 1 + 1]$
3. 一般三角函数和对数函数考虑等价无穷小替换，或者说是泰勒公式进行展开，关注指数最低那项，确定展开到第几项；
4. 使用泰勒公式时常常会遇到需要对复合函数进行展开的情况，如 $\tan f(x)$，我们将 $f(x)$ 作为一个整体来展开；
5. 对于含有极限的函数间断点判断，通常要将极限符号去掉，化成分段函数，再讨论分界点的连续性，与极限无关的变量可以暂时看成常数，通过为自变量划分不同的范围得到不同的极限值，最后得到的就是一个分段函数；
6. 自变量趋于 $\infty$ 通常是不好把握的，通过换元法将 $\infty$ 转换成 $0$ 能用的工具就多了泰勒公式、特殊极限、等价无穷小替换等等；
7. 间断点的讨论就是寻找无意义的点，通常是分母等于零的点、三角函数趋向无穷的点、对数函数趋向于无穷的点；

极限计算一般步骤

1. 化简 等价无穷小替换 换元 通分 $u^v = e^{v\ln u} = e^{v(u-1)}$ 中值定理（积分中值用于统一积分和导数）（拉格朗日用于函数减函数的情况）（泰勒用于高阶）（牛顿-莱布尼兹用于从函数推原函数）
2. 洛必达
3. 泰勒公式
4. 无穷小比阶

1.1 函数的四个性质

• 周期性

• 奇偶性

• 单调性

• 有界性

• 双曲函数

  • 正弦 $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
  • 余弦 $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
  • 正切 $\tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

1.1.2 双曲函数相关恒等式

1.2 极限

1.2.1 数列极限

$$\exists a, \quad \{ \forall \epsilon > 0, \quad \exists N > 0, \quad \ni [\forall n > N: |u_n - A| < \epsilon] \} \Leftrightarrow \lim_{n \Leftrightarrow \infty} = A.$$

1.2.1.1 收敛数列的性质

1. 唯一性 如果数列收敛，那么极限唯一。
2. 有界性 如果数列收敛，那么一定有界。
3. 保号性 如果数列极限大于零（小于零），那么存在某一项，使得以后的项都大于零（小于零）。
4. 致密性 如果数列收敛，其任意子列也收敛。（可逆）

1.2.2 函数极限

极限的算数定义式：

1.2.2.1 函数极限的性质

1. 唯一性 $\lim \limits_{x \rightarrow a}f(x)$，极限唯一。

2. 局部有界性 函数极限存在，那么在任意一个范围内有界，

3. 局部保号性 函数极限存在，且极限大于零（小于零），那么在极限一定范围内，函数大于零或小于零。

4. 函数极限与数列极限 设一收敛极限收敛于$x_0$且不等于$x_n$，一收敛函数$\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$，那么$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}f(x_n) = \lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$

1.2.3 极限存在准则

1. 夹逼定理； 对于数列${x_n}$、${y_n}$、${z_n}$，从某项起，如果有

   $$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} y_n = a, \\ \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = a, \\ y_n \le x_n \le z_n \end{aligned}$$

   那么数列${x_n}$的极限存在且$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a$. 用夹逼准则证明一般使用放缩法，两种基本放缩法：

   $$\begin{cases} n \cdot u_{\min} \le u_1 + u_2 + \cdots + u_n \le n \cdot u_{\max},\\ \text{if } u_i \ge 0 , 1 \cdot \le u_1 + u_2 + \cdots + u_n \le n \cdot u_{\max}. \end{cases}$$

   递推式的一些放缩法：

   $$\begin{cases} |x_{n+1} - a| \lt k |x_n - a| \lt k^2 |x_{n-1} - a| \lt \cdots \lt k^n | x_1 - a|+ \end{cases}$$

2. 单调有界数列必有极限，且极限为上（下）确界； 一般利用单调有界准则可以证明极限存在。证明极限存在之后可以对等式的两边取极限，将与 $n$ 相关的极限都转化为含有 $A$ 的方程，解出来就得到了极限值 $A$。

3. 区间套定理； 数列$\{x_n\}$单调递增，$\{y_n\}$单调递减，且$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}$

4. 柯西(Cauchy)极限存在准则； 数列收敛的充分必要条件：
   对于任意给定的正数$\epsilon$，存在着这样的正整数$N$，使得当$m \gt N, n \gt N$时，就有

   $$|x_n - x_m| \lt \epsilon$$

1.2.4 两个重要极限

1. $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin}{x} = 1$

2. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^x = e$

1.2.5 极限求法

• 等价无穷小量替换 我们可以使用等价无穷小替换的方式，将函数化繁为简： 若 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\alpha' (x)} = 1, \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$ 则有

  $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \cdot \frac{\alpha' (x)}{\alpha (x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha' (x)}{\beta (x)}$$

  常用等价无穷小量：

  $$\begin{aligned} &\sin \sim x , \quad \tan x \sim x \\ &\arcsin x \sim x , \quad \arctan x \sim x , \quad e^2 - 1 \sim x \\ &x \sim \ln (x + 1) , \quad (x + 1)^a - 1 \sim a{x} , \\ &1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2 , \quad x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^3 \end{aligned}$$

• 夹逼定理 当

  1. $\quad g(x) \le f(x) \le g(x)$
  2. $\quad \lim \limits_{x \rightarrow x_0} g(x) = \lim \limits_{x \rightarrow x_0} h(x) = a$ 我们有 $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$

1.2.6 函数的连续性与间断点

• 连续

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$

• 间断
  • $f(x_0)$ 不存在
  • $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在
  • $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \ne f(x_0)$

1.2.6.1 连续函数的性质

1. 有界性 定义在闭区间上的连续函数有界且一定有最大（最小值）。

2. 零点定理 若连续函数在 $[a, b]$ 上有定义且$f(a) f(b) \lt 0$那么在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得：$f(\xi) = 0$

3. 介值定理

   $$f(a) = A, f(b) = B, A \lt C \lt B \Longrightarrow \exists \xi ,\, a \lt \xi \lt b ,\, f(\xi) = C$$

4. 一致连续性

   $$\forall \epsilon \gt 0 ,\, \exists \delta \gt 0 ,\, |x_1 - x_2| \lt \delta \Longrightarrow |f(x_1) - f(x_2)| \lt \epsilon$$

   一致连续性定理： 若$f(x)$在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续。