第四讲不完全信息静态博弈

假设

每个人仅了解自己的支付和偏好，不了解其他人的；

信念的概念

信念：参与人对其他参与人的预估；
先验信念：博弈开始之前对其他参与者的类型以及概率分布；

Harsanyi 转换

我们无法直接对不完全信息博弈进行分析，需要通过 Harsanyi 转换，将不完全信息博弈转换成不完美信息博弈；通过引入一个虚拟的参与人“自然”，让自然首先行动，决定每个参与人的类型。每个参与人知道自己的类型，不知道别的参与人的类型，但是知道每个参与人的类型以及概率分布；

标准式

参与人
行动集合
类型集合
信念
所有可能的策略组合和类型，每一个参与人获得的支付

Bayes 推断

由于每个参与人都知道自己的类型 $t_i$ ，所以她可以使用共同先验知识来形成对于其他参与人类型的后验信念； Bayes 推断是一个条件概率： $p_i = p_i(t_{-i}|t_i)$ 这里的 $t_i$ 是参与人自己的类型， $t_{-i}$ 是其他参与人的类型。该条件概率描述的是，参与人在知道自己是什么类型的情况下，对其他参与人的类型推断的概率；

令 $p(t)$ 表示自然赋予参与人的类型的先验分布。根据 Bayes 法则，得到后验信念为：

p_i(t_{-i}|t_i) = \dfrac{p(t_{-i}t_i)}{p(t_i)} = \dfrac{p(t_{-i}t_i)}{\sum \limits_{t_{-i} \in T_{-i}} p(t_{-i}t_i)}

Bayes 博弈

Bayes 博弈的标准式表达 $G(A_1, \dots, A_n; T_1, \dots, T_n; p_1, \dots, p_n; u_1, \dots, u_n)$

自然赋予的各个参与人的类型 $t = (t_1, \dots, t_n)$ ，其中 $t_i \in T_i$ ；
自然告知参与人 $i$ 自己的类型 $t_i$ ，却不告诉其他参与人的类型 $t_{-i}$ ；
参与人同时行动，从自己的行动集 $A_i$ 中选择 $a_i$ ；
每个参与人 $i$ 得到的收益 $u_i(a_1, a_2, \dots, a_n; t_1, t_2, \dots, t_n)$ ；

策略集：参与人 $i$ 的纯策略集 $S_i = \{s_i(t_i)\}$ 是一个值域为 $A_i$ ，定义域为 $T_i$ 的所有可能的函数集。而混合策略是基于纯策略之上的；

我们可以将参与人的类型看成是他们自己的信息集：当参与人 $i$ 的类型由“自然”选定时，就可以看成是他在一个与他类型相同的唯一信息集上进行决策。这时，一个纯策略就是在每一个信息集上选择行动；

要点：

作为完整的策略，必须给定参与人在所有类型上的行动；
如果参与人 $i$ 选择的是纯策略，而自然是随机决定 $i$ 的类型，那么对于别的参与人而言，他们将面对选择混合策略的参与人 $i$ ；

对于 Bayes 博弈：

G = \{A_1, \dots, A_n; T_1, \dots, T_n; p_1, \dotsm, p_n; u_1, \dots, u_n\}

有纯策略 Bayes-Nash 均衡 $s^*$ ：

s^* = \{s_1, s_2, \dots, s_n\}

若每一个参与人 $i$ 的每一个类型 $t_i \in T_i$ 以及每一个行动 $a_i \in A_i$ 都有：

\sum \limits_{t_{-i} \in T_{-i}} p_i(t_{-i}|t_i) u_i(s^*_i(t_i), s^*_{-i}(t_{-i})) \ge \sum \limits_{t_{-i} \in T_{-i}} p_i(t_{-i}|t_i) u_i(a_i, s^*_{-i}(t_{_i}))

通过求解由期望支付函数组成的博弈矩阵，解出 Bayes-Nash 均衡；

机制设计

机制设计是一类特殊的不完全信息静态博弈，目的在于披露私人信息；

一套完整的机制具有 $n$ 个参与人的行动 $A_i$ 以及一个支付函数 $u(.)$ 。

直接机制：参与人的行动集和类型集相同； 间接机制：参与人的行动集和类型集不相同；

典型的机制：

机制设计者提出一个机制；
参与人决定是否参与；
- 由于 个人理性约束 参与人只选择能让自己获得更高支付的选择（参与与不参与）
选择接受的参与人进行博弈；
- 激励相容约束 通过激励诱导（制造更高的期望）参与人披露自己的私人信息（类型）

显示性原理 任何 Bayes 博弈的任何 Bayes-Nash 均衡都可以通过一个激励相容的机制实现；用人话说就是：我总能找到一个游戏规则让玩游戏的人暴露自己的真实情况；

第四讲 不完全信息静态博弈