连续与极限

连续与极限

1.1 变化率和极限

1.1.1 变化率

• 平均变化率

  $y = f(x)$关于$x$在$[x_1,x_2]$上的平均变化率是：
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h}, h \ne 0.$ 几何上是割线的斜率。

当区间$[x_1, x_2]$足够小时，我们称之为瞬时变化率（极限）。
求瞬时变化率的过程，我们称之为求极限。

极限不依赖于取极限处的函数值，有时候也会不存在。

1.1.2 极限（有限极限、无穷极限）

1.1.2.1 极限的正式定义

设$f(x)$定义在一个可能不包括$x_0$的区间上，我们说，当$x$趋近$x_0$时，$f(x)$趋近直线$L$，记为 $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L$ 如果，对任何树$\varepsilon > 0$，存在相应的数$\delta > 0$使得对所有满足$0 \lt |x - x_0| \lt \delta$的 x，有 $|f(x) - L| \lt \varepsilon$

1.1.2.2 极限的性质

有界性

存在性

书中介绍了三种不存在的情况，尚未对存在性进行判定规范化。

• 函数跳跃
• 函数无限增大
• 函数无限震荡并且没有振幅减小的趋势

1.1.2.3 求极限

• 极限的和差商积幂

• 夹逼定理

  若$\lim_{x \rightarrow x_0}h(x) = \lim_{x \rightarrow x_0}g(x), h(x) \lt f(x) \lt g(x)$，
  则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0}h(x)$

• 单侧极限、双侧极限的关系

  当且仅当 $\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = \lim_{x \rightarrow x0^-}f(x) = h$ 有 $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = h$

• 特殊极限

  $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$

• 有理函数极限求法：

  • 分子等于分母的次--->直接除以最高次幂求极限
  • 分子大于分母的次--->直接除以最高次幂求极限，一般是 $\infty$
  • 分子小于分母的次--->直接除以最高次幂求极限，一般是 $0$

• 变量替换

1.1.2.3 渐近线

• 水平渐近线

  直线$y = b$是函数$y = f(x)$图形的水平渐近线，如果有$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = b$ 或 $\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = b$

• 垂直渐近线

  直线$x = a$是该图形的垂直渐近线，如果有$\lim \limits_{x \rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty$ 或 $\lim \limits_{x \rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty$

• 斜渐近线

  直线$y = ax + b$是该函数的斜渐近线渐近线，如果有$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} (ax + b) \pm \lim \limits_{x \rightarrow \infty} h(x)$ 且 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} h(x) = 0$

1.1.2.4 终极性态模型

对于数指很大的$x$，我们有时候可以对复杂函数的性态用一个简单的函数表示，实际上这两个函数的作用方式都是同样的。

• 终极性态模型

  函数$g$是
  $f$的右侧终极性态模型，当且仅当 $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ > $f$的左侧终极性态模型，当且仅当 $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.$

1.2 函数的连续性

• 连续性检验

  函数$f(x)$在$x = c$连续，当且仅当它满足以下条件：

  1. $f(c)$存在
  2. $\lim \limits_{x \rightarrow c} f(x)$ 存在
  3. $\lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$

• 内点

  函数$f(x)$在其定义域的内点$c$处是连续的，如果$\lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$

• 端点

  函数$f(x)$在其定义域的左端点 $a$ 或右端点 $b$ 是连续的，如果分别有 $\lim \limits_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a)$ 或 $\lim \limits_{x \rightarrow b^-} f(x) = f(b)$

1.2.1 间断点

• 跳跃间断点
• 无穷间断点
• 振荡间断点
• 可去间断点

其中左侧极限和右侧极限相等，且极限存在的间断点我们认为是可去间断点。

1.2.2 连续函数

连续函数要求定义域中每一点都是连续的函数。

• 多项式
• 根号函数
• 反三角函数
• 有理函数
• 三角函数
• 指数函数
• 对数函数

都是连续函数。

1.2.3 代数组合

• 连续函数的和差积商、常数积都是连续的。
• 连续复合函数

  如果 $f$ 在 $c$ 连续而 $g$ 在 $f(c)$ 连续，那么复合函数 $g \circ f$ 在 $c$ 连续。

1.2.4 连续函数的中间值定理

• 连续函数的中间值定理

  一个连续函数取得到两个值，那么该函数一定能取到这两个值之间的一切值。

1.3 切线

求切线的过程就是一个求极限的过程。

曲线$y = f(x)$的在点$P(x_0, f(x_0))$的斜率是数
$m = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ （若这个极限存在）

1.3.1 导数初探

变化率：在一点处的导数
表达式
$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 称为$f$在$x_0$处增量为$h$的差商