极限和连续

极限和连续

函数的概念

函数是集合 D 中每一个元素到集合 R 中唯一确定的元素的一种对应规则。

定义域上述定义中的集合 D

值域上述定义中的集合 R

函数的性质

增减性 奇偶性(对称性) 分段函数

函数图形位移： 左加右减 上加下减

函数运算

函数的和差积商

$$f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) \times g(x), \dfrac{f(x)}{g(x)}$$

函数的复合运算

$f(g(x))$

函数的逆运算

$f^{-1}(x)$

一一对应

再定义域$D$内，当 $a \ne b$ 时，有$f(a) \ne f(b)$，则说明 $f$ 是一一对应的。

注意：只有一一对应的函数才能有反函数。

一些重要的函数模型

指数模型

$y = y_{0}a^{kx}$

对数模型

$y = \log_{a}x$

对数的性质

• 反函数$a^{x}$

  $a^{\log_{a}x} = x, \log_{a}a^{x} = x$

• 乘积

  $\log_{a}xy = \log_{a}x + \log_{a}y$

• 商

  $\log_{a} \dfrac{x}{y} = log_a x - \log_a y$

• 幂

  $\log_a x^y = y \log_a x$

• 每个指数函数是自然指数函数的幂函数

  $a^x = e^{x\ln a}$

• 换底公式

  $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$

三角函数以及反三角函数

• 三角函数

  • 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
    $\sin x=\dfrac{y}{r}, \cos x=\dfrac{x}{r}, \tan x\dfrac{y}{x}, \sec x=\dfrac{r}{x}, \csc x=\dfrac{r}{y}$
  • 周期性：正切余切$T=\pi$，其他的$T=2\pi$
  • 奇偶性：正弦正切余割 奇函数，余弦余切正割 偶函数
  • 图形的平移：$y = af(b(x+c)) + d$，a 拉伸 y 轴，b 压缩 x 轴，cd 上加下减，左加右减
  • 恒等式：
  • $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$
  • $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \sec^2 \theta,\ \ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
  • 和角公式：
  • $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
  • $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
  • 倍角公式：
  • $\cos2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
  • $\sin2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta$
  • 余弦定理：
  • $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta$

• 反三角函数

  • 图像记住
  • 恒等式：
  • $\arcsin(-x) = - \arcsin x$
  • $\arccos x + \arccos (-x) = \pi$
  • $\arccos (-x) = \pi - \arccos x$
  • $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$

参数方程

将方程的自变量，因变量都用第三个参数表示，称之为函数的参数化。
反参数化：将参数用其中一个变量表示，再将这个参数带入其他的变量中。

一些标准的参数化

• 圆 $x^2 + y^2 = a^2$

  $x = a\cos t$
  $y = a\sin t$
  $0 \le t \le 2\pi$

• 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

  $x = a\cos t$
  $y = b\sin t$
  $0 \le t \le \pi$

建模

将实际问题的数据抽象简化成数学模型，再分析模型的数学结论，通过数学结论来预测/解释数据，再回到实际问题中进行检验。

建模过程

1. 识别问题
2. 对要包括那些变量以及这些变量之间的关系作出假设
3. 求一个满足这些关系的函数或图形
4. 检验模型